现考虑一个微分方程\(L(u)+f=0\),其中\(L\)是微分算子,\(u\)是微分方程的解,\(g\)是已知函数.
构造一个试探解\(u_{app}\),想直接由试探解得到精确解通常很困难,所以我们想尽可能的减小试探解和精确解的差别,即减小残差(余量)\(R=L(u_{app})-L(u)=L(u_{app})+f\).\(u_{app}\)中有多个未知数,为了构造足够的方程,故而采用对残差加权的方法来判断残差什么情况下最小,选择不同的加权函数\(v\)就得到了不同的方法,包括
\[ \displaystyle\int_VF_i\delta u_i\mathrm dV+\displaystyle\int_ST_i\delta u_i\mathrm dS=\displaystyle\int_V\sigma_{ij}\delta\varepsilon_{ij}\mathrm dV\\ \]
对于泛函 \[ L[y(x)]=\displaystyle\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y^{'})\mathrm{d}x\\ \] 其中\(F\)对变元\(x,y,y^{'}\)连续且一阶与二阶偏导数都连续的函数,容许函数\(y(x)\in C^2[x_0,x_1]\),且满足边界条件 \[ y(x_0)=y_0,\quad y(x_1)=y_1\\ \] 现研究泛函在此边界条件下极值问题的必要条件.
计算力学要考试了，这几天复习感觉很有收获，写一些文章记录一下。可惜学校没有更深入的计算力学课程了，本课程水平是非常不错的，主要内容是线弹性有限元，后面有提到一些非线性有限元和理想不可压缩流的有限元求解。老师是一个非常有意思的人，讲课水平非常好，有空写一写他。
这部分用的教材是《变分法》(吴迪光)，书很老了，写的也比较简练，但后续需要的内容都有。