计算力学(二)变分问题的求解
固定边界的变分问题
问题描述
对于泛函 \[ L[y(x)]=\displaystyle\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y^{'})\mathrm{d}x\\ \] 其中\(F\)对变元\(x,y,y^{'}\)连续且一阶与二阶偏导数都连续的函数,容许函数\(y(x)\in C^2[x_0,x_1]\),且满足边界条件 \[ y(x_0)=y_0,\quad y(x_1)=y_1\\ \] 现研究泛函在此边界条件下极值问题的必要条件.
欧拉—拉格朗日方程
设\(y=(x)\)就是所求的极值曲线,对于满足边界条件的函数\(\eta(x)\),即任意满足\(\eta(x)\in C^2(x_0,x_1)\),\(\eta(x_0)=\eta(x_1)=0\)的函数\(\eta(x)\),构造函数\(\overline{y(x)}=y(x)+\alpha\eta(x)\).我们得到了关于\(y(x)\)的0阶邻域.
对于一元函数,\(x\)的邻域表现为轴上\(x\)附近的线段;对于二元函数,\((x,y)\)的邻域表现为平面上的的小圆形区域.对于上述泛函,邻域不再是一个点集,而是函数集合,容易看出对任意满足条件的\(\eta(x)\),乘以一个常数,仍然满足条件,所以在构造函数中乘上了一个因子\(\alpha\),这也对后续的处理带来了便利.
将\(\overline{y(x)}\)带入泛函得到关于\(\alpha\)的函数 \[ L[\overline{y(x)}]=\displaystyle\int_{x_0}^{x_1}F(x,y+\alpha\eta,y^{'}+\alpha\eta^{'})\mathrm{d}x\triangleq\Phi(\alpha)\\ \] 由于泛函在\(\overline{y(x)}=y(x)\)处取极值,因而函数\(\Phi(\alpha)\)在\(\alpha=0\)处取极值,从而得到 \[ \Phi(0)^{'}=\displaystyle\int_{x_0}^{x_1}[F_y(x,y,y^{'})\eta+F_{y^{'}}(x,y,y^{'})\eta^{'}]\mathrm{d}x=0\\ \] 对第二项进行分部积分得 \[ \begin{align} \Phi(0)^{'}&=\displaystyle\int_{x_0}^{x_1}F_y\eta(x)\mathrm{d}x+F_{y^{'}}\eta(x)\bigg|^{x_1}_{x_0}-\displaystyle\int_{x_0}^{x_1}\eta(x)\mathrm{d}F_{y^{'}}\\ &=\displaystyle\int_{x_0}^{x_1}[F_{y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y^{'}}]\eta(x)\mathrm{d}x\quad=\quad0\\ \end{align} \] 因为\(\eta(x)\)是任意函数,由变分基本引理1可以得到泛函的欧拉—拉格朗日方程,这是泛函取极值的必要条件 \[ F_{y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y^{'}}=0\\ F_y-F_{xy^{'}}-F_{yy^{'}}y^{'}-F_{y^{'}y^{'}}y^{''}=0\\ \]
在理论力学中将\(F\)取作拉氏量\(L\equiv T-V\)就是拉格朗日方程,进而求得动力学方程.
对于有n个未知函数的变分问题,下面给出对应的欧拉方程组 \[ F_{y_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y_i^{'}}=0\\ \]
其中\((i=1,2\cdots,n)\),一般来说其通解有\(2n\)个任意常数,由边界条件确定
对于有高阶导数的变分问题,羡慕给出对应的欧拉方程 \[ \displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k}\frac{\partial{F}}{\partial{y^{(k)}}}=0\\ \]
最速降线问题
在上一篇文章中推导出了最速降线的泛函 \[ F(y,y^{'})=\sqrt{\frac{1+(y^{'})^2}{2gy}}\\ \] 带入欧拉方程得到 \[ \sqrt{y(1+y^{'2})}=\frac{1}{C\sqrt{2g}}\\ \begin{cases} \begin{aligned} &x=\frac{C_1}{2}(\theta-\sin(\theta))+C_2,\\&y=\frac{C_1}{2}(1-\cos\theta), \end{aligned} \end{cases}\\ \] 其中常数\(C_1、C_2\)由边界条件决定.
泛函的条件极值问题
在短程线问题中.函数点还需满足在给定曲面上的约束;等周问题中曲线周长需为一定值,这些是泛函的条件极值问题.可以通过一些方法将这些问题化为无条件极值问题.
拉格朗日定理
设函数\(y(x),z(x)\)在条件\(G(x,y,z)=0\)下,使泛函 \[ L_1[y,z]=\displaystyle\int_{x_2}^{x_1}F(x,y,z,y^{'},z^{'})\mathrm dx\\ \] 取极值,并且沿着曲线\(\Gamma : y=y(x),z=z(x)\),偏导数\(G_y\)或\(G_z\)中至少有一个不为零,这必有函数因子\(\lambda(x)\)存在,使得\(y(x),z(x)\)满足泛函 \[ \begin{align} I[y,z]&=\displaystyle\int_{x_2}^{x_1}[F(x,y,z,y^{'},z^{'})+\lambda(x)G(x,y,z)]\mathrm dx\\ &\triangleq\displaystyle\int_{x_2}^{x_1}H(x,y,z,y^{'},z^{'},\lambda(x))\mathrm dx \end{align}\\ \] 的欧拉方程组 \[ \begin{cases} \begin{aligned} H_y-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}H_{y^{'}}=0,\\H_z-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}H_{z^{'}}=0, \end{aligned} \end{cases}\\ \]
圆柱面上短程线问题
设圆柱面方程为 \[ x^2+z^2=1,(z>0)\\ \] 连接\(A(x_0,y_0,z_0)\),\(B(x_1,y_1,z_1)\)两点的曲线方程为 \[ \begin{cases} \begin{aligned} y=y(x),\\z=z(x), \end{aligned} \end{cases}\quad x_0\leq x\leq x_1,\\ \] 曲线长为 \[ L=\displaystyle\int^{x_1}_{x_0}\sqrt{1+(y^{'})^2+(z^{'})^2}\mathrm{d}x\\ \] 作辅助泛函 \[ I[y,z]=\displaystyle\int_{x_2}^{x_1}[\sqrt{1+(y^{'})^2+(z^{'})^2}]+\lambda(x)(z-\sqrt{1-x^2})\mathrm{d}x\\ \] 对应的欧拉方程组为 \[ \begin{cases} \begin{aligned} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\frac{y^{'}}{\sqrt{1+(y^{'})^2+(z^{'})^2}})&=0,\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\frac{z^{'}}{\sqrt{1+(y^{'})^2+(z^{'})^2}})&=\lambda(x), \end{aligned} \end{cases}\\ \] 令弧长\(ds=\sqrt{1+(y^{'})^2+(z^{'})^2}dx\),最终解得 \[ \begin{cases} \begin{aligned} x&=\cos(\sqrt{1-C_1^2}s+C_2,\\ y&=C_1s+C_3,\\z&=sin(\sqrt{1-C_1^2}s+C_2), \end{aligned} \end{cases}\\ \] 其中\(C_1,C_2,C_3\)由边界条件确定.
欧拉定理
曲线\(y=y(x)\)在满足条件 \[ K=\displaystyle\int _{x_2}^{x_1}G(x,y,y^{'})\mathrm d x=l(常数)\\ \] 及边界条件\(y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1\)下,使泛函 \[ L=\displaystyle\int _{x_2}^{x_1}F(x,y,y^{'})\mathrm d x\\ \] 取到极值,则必存在一常数\(\lambda\),使得\(y=y(x)\)是泛函 \[ \begin{align} I&=\displaystyle\int _{x_2}^{x_1}[F(x,y,y^{'})+\lambda G(x,y,y^{'})]\mathrm d x\\ &\triangleq \displaystyle\int _{x_2}^{x_1}H(x,y,y^{'})\mathrm dx \end{align}\\ \] 的极值曲线,既\(y=y(x)\)满足欧拉方程 \[ H_y-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}H_{y^{'}}=0\\ \]
等周问题
等周问题即为求泛函 \[ A=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}(x\dot{y}-y\dot{x})\mathrm{d}t\\ \] 在等周条件 \[ \displaystyle\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\mathrm{d}t=l\\ \] 下的极大值.作辅助泛函 \[ I=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}[x\dot{y}-y\dot{x}+\lambda\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}]\mathrm{d}t\\ \] 其欧拉方程组 \[ \begin{cases} \begin{aligned} \dot{y}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(-y+\frac{\lambda\dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}})&=0,\\ -\dot{x}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(x+\frac{\lambda\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}})&=0, \end{aligned} \end{cases}\\ \] 最终解得 \[ (x-C_1)^2+(y-C_2)^2=(\frac{l}{2\pi})^2,\\ \] 其中\(C_1,C_2\)由边界条件确定.
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