计算力学(三)弹性力学问题的变分解法(一)
弹性力学原理
虚功原理
\[ \displaystyle\int_VF_i\delta u_i\mathrm dV+\displaystyle\int_ST_i\delta u_i\mathrm dS=\displaystyle\int_V\sigma_{ij}\delta\varepsilon_{ij}\mathrm dV\\ \]
上式即为连续变形体的虚功原理,下面给出推导.由平衡方程出发 \[ \begin{align*} \sigma_{ij,j}+F_i&=0\qquad(在V内)\\ \sigma_{ij}n_{j}&=\bar T_i\qquad(在S上)\\ \end{align*}\\ \] 与虚位移相乘再积分得到 \[ \displaystyle\int_V(\sigma_{ij,j}+F_i)\delta u_i\mathrm dV+\displaystyle\int_S(\bar T_i-\sigma_{ij}n_{j})\delta u_i\mathrm dS=0\\ \] 对第一项分部积分 \[ \displaystyle\int_V(\sigma_{ij,j}+F_i)\delta u_i\mathrm dV=-\displaystyle\int_V\sigma_{ij}\delta u_{i,j}\mathrm dV+\displaystyle\int_Sn_j\sigma_{ij}\delta u_i\mathrm dS+\displaystyle\int_VF_i\delta u_i\mathrm dV\\ \] 对右边第一项 \[ \begin{align*} \sigma_{ij}\delta u_{i,j}&=\sigma_{ij}\cdot\delta(u_{i,j}+u_{j,i}+u_{i,j}-u_{j,i})/2\\ &=\sigma_{ij}\delta\varepsilon_{ij} \end{align*}\\ \] 由于\(\sigma_{ij}\)是对称张量\(u_{i,j}-u_{j,i}\)反对称,二者乘积为0.
最终得到开头的虚功方程,方程中的应力和位移都是函数,该方程是实际平衡情况下,应力函数和位移函数的必要条件.注意到到目前为止还没有用到材料的本构关系,所以在小变形情况下,虚功原理可以适用于任何材料.同时虚功原理也可以用于非保守系统.
上面的回答主要参考了这个回答.顺便说一下,我上的弹性力学教材在这个部分是有误的[^1].
最小势能原理
将格林公式 \[ \sigma_{ij}=\frac{\partial A}{\partial\varepsilon_{ij}}\\ \] 其中\(A\)是应变能函数,带入虚功方程中得到 \[ \delta[\displaystyle\int_VA\mathrm dV-(\displaystyle\int_VF_i\delta u_i\mathrm dV+\displaystyle\int_ST_i\delta u_i\mathrm dS)]\\ \] 定义 \[ \begin{align*} U&=\displaystyle\int_VA\mathrm dV\qquad(总应变能)\\ V_P&=-(\displaystyle\int_VF_i\delta u_i\mathrm dV+\displaystyle\int_ST_i\delta u_i\mathrm dS)\qquad(外力势能)\\ \Pi&=U+V_P\qquad(总势能) \end{align*}\\ \] 最后得到 \[ \delta\Pi=0 \]
- 由虚功原理推导最小势能原理时要求
- 系统总势能存在,意味着系统必须是保守的,这是由格林公式的引入带来的
- 应变能为正定的,这使得平衡必须稳定
- 格林公式没有限定材料是线弹性的,非线性弹性材料也适用
- 总势能一阶变分等于0时的位移场就是实际位移场,是充要条件.
- 在稳定平衡时,总势能取极小值;不稳定平衡时,总势能取极大值.
最后推荐一个关于最小作用量原理的回答,让我对最小作用量原理,拉格朗日法和哈密顿量等的认识有了翻天覆地的变化,完全深入本质,非常值得时常翻阅,看完后对各种方法的认知都能深入很多.
求解方法
看的一些教材资料中都是把瑞利-里兹法和伽辽金法并列,一开始给我带来了一些困扰,按我现在的理解,瑞利-里兹法应该是和加权残差法并列的求变分问题近似解的方法,而加权残差法是包括伽辽金法/最小二乘法和矩法等一系列的方法.瑞利-里兹法是直接求解变分问题的方法,适用于泛函确定的情况,而加权残差法是间接求解变分问题的方法,由问题对应的微分方程入手.
在弹性力学问题中瑞利-里兹法只需满足位移边界条件,而伽辽金发还需要满足应力边界条件.
瑞利-里兹法
选取一个线性空间,并选定其中的一组基,这组基应满足位移边界条件,这个线性空间中的向量,就是我们选取的可能的解向量.将解向量代表的式子带入到泛函中,求泛函的极值就转化为了求解向量.下面用一个例子来说明.
已知\(y(0)=y(1)=0\),确定\(y=f(x)\),使泛函 \[ J[y]=\displaystyle\int_0^1(y^{'2}-y^2+4xy)\mathrm dx\\ \] 取极小值
精确解为 \[ y=2x-\frac{2\sin x}{\sin 1}\\ \] 取一组基为\([(1-x)^ix^j](i\leq j, i,j=1,2,\cdots)\),再选取一个解向量为\([a_1,0,0\cdots]\),即\(y_1=a_1x(1-x)\),带入泛函并令其对\(a_1\)的导数等于零得\(a_1=-\frac{5}{9}\).故近似解为\(y_1=-\frac{5}{9}x(1-x)\)
再选取一个解向量为\([a_1,a_2,0,0,\cdots]\)即\(y_2=(a_1+a_2x)x(1-x)\),带入泛函并分别令其对\(a_1,a_2\)的导数等于零得\(a_1=-\frac{142}{369},a_2=-\frac{14}{41}\)故近似解为\(y_2=-(\frac{142}{369}+\frac{14}{41}x)x(1-x)\)
与精确解进行比较得表1 近似解和精确解的比较
| \(x\) | \(y\) | \(y_1\) | \(y_2\) |
|---|---|---|---|
| 0.2 | -0.0722 | -0.0888 | -0.0724 |
| 0.4 | -0.1256 | -0.1333 | -0.1251 |
| 0.5 | -0.1420 | -0.1333 | -0.1415 |
| 0.8 | -0.1050 | -0.0888 | -0.1053 |
下一篇伽辽金法,再下一篇就可以快乐的复制粘贴代码了.
重新看书收获不小,当时学高等代数的时候好多都没理解,学到弹性力学才有了直观一点的认识,弹性力学是我本科目前为止老师讲的最好的专业课,如果计算力学老师不阴阳怪气的话,就是并列最好的专业课了,可惜.
[^1][1]王光钦, 丁桂保, and 杨杰. 弹性力学.第3版. 清华大学出版社, 2015: 291-293
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