计算力学(一)泛函和变分法
计算力学要考试了，这几天复习感觉很有收获，写一些文章记录一下。可惜学校没有更深入的计算力学课程了，本课程水平是非常不错的，主要内容是线弹性有限元，后面有提到一些非线性有限元和理想不可压缩流的有限元求解。老师是一个非常有意思的人，讲课水平非常好，有空写一写他。
这部分用的教材是《变分法》(吴迪光)，书很老了，写的也比较简练，但后续需要的内容都有。
泛函
泛函定义
给定满足一定条件的函数集合\(D_L={y(x)}\)，和实数集合\(R\)。若\(D_L\)和\(R\)之间存在一对应关系，使得对\(D_L\)中的任意函数\(y(x)\)，在\(R\)中都有唯一的实数\(L\)与之对应，则称L是定义于函数集\(D_L\)上的泛函(functional) \[ L=L[y(x)]或L=L[y]\\ \] 函数集合\(D_L\)就是泛函的定义域，其中的函数称为容许函数(permissible function)。
对于依赖于多个未知函数，或未知函数为多元函数的情形，有类似的泛函定义 \[ L=L[y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)]\\ L=L[u(x_1,x_2,\dots,x_n)]\\ L=L[u_1(x_1,x_2,\dots,x_n),u_2(x_1,x_2,\dots,x_n),\dots,u_n(x_1,x_2,\dots,x_n)]\\ \] 在区间\((x_0，x_1)\)上n阶导数连续的函数集，称为在区间\((x_0，x_1)\)上n阶导数连续的函数类，记为\(C^n(x_0，x_1)\)，\(C^0(x_0，x_1)\)约定为\(C(x_0，x_1)\)。同样的这个概念也适用于多元函数。可以简单的将泛函理解为函数的函数，后续泛函极值的定义和函数极值的定义也是类似的。
泛函问题
- 最速降线问题
一质点由\(A\)点在重力作用下以零初速下滑到定点\(B\)。试问，沿\(AB\)间一条什么样的光滑曲线下降，质点所用的时间最少。
由简单的运动学知识可得，从A运动到B的时间 \[ T=\int^B_A\mathrm{d}t=\int^{x_1}_{x_0}\sqrt{\frac{1+(y^{'})^2}{2gy}}\mathrm{d}t\\ \]
- 短程线问题
设\(A(x_0，y_0，z_0)\)、\(B(x_1，y_1，z_1)\)为某一曲面\(\varphi(x，y，z)=0\)上二点，求在该曲面上连结\(A\)、\(B\)且长度取极值的曲线的。曲线可以表示为\(y(x)\)和\(z(x)\)。则AB间连线的长度 \[ L=\int^{x_1}_{x_0}\sqrt{1+(y^{'})^2+(z^{'})^2}\mathrm{d}x\\ \]
- 等周问题
在平面上，给定长度为\(l\)的所有封闭光滑曲线中，求一条曲线，使它所围区域的面积A最大。
设曲线的参数方程为 \[ \Gamma:\begin{cases} \begin{aligned} x=x(t),\\y=y(t), \end{aligned} \end{cases}\quad t_0\leq t\leq t_1,\\ \] 曲线\(\Gamma\)所围成的面积为 \[ A=\frac{1}{2}\oint_\Gamma x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\oint_\Gamma(x\dot{y}-y\dot{x})\mathrm{d}t\\ \]
泛函极值
接近度和邻域
设给定\(y_0(x)\in C^n[a，b]\)和正数\(\delta\)，如果对于\(y_0(x)\in C^n[a，b]\)，有 \[ d_n(y,y_0)<\delta\\ \] 则称\(y\)与\(y_0\)在\([a，b]\)上具有n阶的\(\delta\)接近度
定义关于\(y_0\)的n阶邻域\(N_n[\delta，y_0]\) \[ N_n[\delta,y_0]=\{y(x)|y(x)\in C^n[a,b],d_n(y,y_0)<\delta\}\\ \]
极值
设\(y_0(x)\)是泛函\(L[y(x)]\)定义域\(D\)中的某一函数，若对\(L[y(x)]\)的任意容许函数\(y(x)\)，都有 \[ L[y_0(x)]\leq L[y(x)]\quad(L[y_0(x)]\geq L[y(x)])\\ \] 则称泛函\(L[y(x)]\)在\(y_0(x)\)处达到绝对极小值(或绝对极大值)。
若存在一正数\(\delta\)，对于任意的\(y(x)\in N_0[\delta，y_0]\cap D\)，都有 \[ L[y_0(x)]\leq L[y(x)]\quad(L[y_0(x)]\geq L[y(x)])\\ \] 则称泛函\(L[y(x)]\)在\(y_0(x)\)处达到强相对极小值(或强相对极大值)。
若存在一正数\(\delta\)，对于任意的\(y(x)\in N_1[\delta，y_0]\cap D\)，都有 \[ L[y_0(x)]\leq L[y(x)]\quad(L[y_0(x)]\geq L[y(x)])\\ \] 则称泛函\(L[y(x)]\)在\(y_0(x)\)处达到弱相对极小值(或弱相对极大值)。
使泛函取极值(极大或极小)的函数称为极值函数或极值曲线。在上述绝对极值，强相对极值和弱相对极值的定义中，函数\(y_0(x)\)是依次地与较小的函数集里的函数\(y(x)\)相比较而言的，绝对极值\(\Rightarrow\)强相对极值\(\Rightarrow\)弱相对极值
因此我们推导泛函极值的必要条件时，支队泛函弱相对极值的必要条件进行推导就行。
变分
变分法
研究求泛函极值的方法称为变分法。求泛函极大值或极小值的问题，称为变分问题。
变分运算简单的(不严谨的)按照函数求导运算理解就行，公式太难打了。
下面来求各项同性的线弹性体的应变能的变分，首先给出平衡方程/几何方程/本构方程 \[ \begin{align} \sigma_{ij,j}+F_i&=0\\ \varepsilon_{ij}&=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\\ \sigma_{ij}&=\lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij}\\ \lambda=\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}&,\quad\mu=\frac{E}{2(1+\nu)}\\ \end{align} \] 应变能 \[ U=\frac{1}{2}\iiint_V\sigma_{ij}\varepsilon_{ij}\mathrm{d}V\\ \] 应变能的变分 \[ \begin{align} \delta U&=\frac{1}{2}\delta{\iiint_V \sigma_{ij}\varepsilon_{ij}\mathrm{d}V}\\ &=\frac{1}{2}\iiint_V \delta{\sigma_{ij}}\varepsilon_{ij}\mathrm{d}V+\frac{1}{2}\iiint_V \sigma_{ij}\delta{\varepsilon_{ij}}\mathrm{d}V\\ &=\frac{1}{2}\iiint_V(\lambda\delta_{ij}\delta{\varepsilon_{kk}}+2\mu\delta{\varepsilon_{ij}})\varepsilon_{ij}\mathrm{d}V+\frac{1}{2}\iiint_V \sigma_{ij}\delta{\varepsilon_{ij}}\mathrm{d}V\\ \end{align}\\ \]
\[ \because\quad(\lambda\delta_{ij}\delta{\varepsilon_{kk}}+2\mu\delta{\varepsilon_{ij}})\varepsilon_{ij}=(\lambda\delta_{ij}\varepsilon_{kk}+2\mu\varepsilon_{ij})\delta{\varepsilon_{ij}}\\ \therefore\quad\delta{U}=\frac{1}{2}\iiint_V \sigma_{ij}\delta{\varepsilon_{ij}}\mathrm{d}V+\frac{1}{2}\iiint_V \sigma_{ij}\delta{\varepsilon_{ij}}\mathrm{d}V=\iiint_V \sigma_{ij}\delta{\varepsilon_{ij}}\mathrm{d}V\\ \]
变分基本引理
引理1：设函数\(f(x)\)在区间\([x_0，x_1]\)上连续，对区间\([x_0，x_1]\)上的任意连续函数\(\varphi(x)\)有\(\varphi(x_0)=\varphi(x_1)=0\)，若 \[ \int^{x_1}_{x_0}f(x)\varphi(x)\mathrm{d}x\equiv 0\\ \] 成立，则在区间\([x_0，x_1]\)上，\(f(x)\equiv0\)。
引理2:设\(D\)为某平面区域，其边界为\(\Gamma\)，函数\(f(x，y)\)是定义在\(D\)上的连续函数，\(\varphi(x，y)\)是\(D\)上的任意连续函数，且在边界上\(\varphi(x，y)=0\)。若满足 \[ \iint_D f(x,y)\varphi(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0\\ \] 则在区域D上恒有\(f(x，y)\equiv 0\)
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